Dalam materi bab ini, Anda akan mempelajari tentang gerak secara keseluruhan, yaitu gerak lurus, gerak parabola, dan gerak melingkar dengan menggunakan analisis vektor, perhitungan diferensial, dan integral. Setelah mempelajari materi bab ini, Anda akan memahami bahwa gerak parabola dapat dianalisis melalui perpaduan antara gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) yang arahnya saling tegak lurus. Dapatkah Anda menyebutkan contoh-contoh gerak keseharian lain yang lintasannya berbentuk parabola?
A. Persamaan Gerak Benda
Apakah yang dimaksud dengan gerak? Banyak definisi telah dikemukakan oleh para ilmuwan untuk mendeskripsikan gerak. Namun, secara Fisika Anda dapat menyatakan bahwa gerak ditentukan karena adanya kelajuan, kecepatan, dan percepatan benda. Seluruh kajian tentang gerak benda yang Anda pelajari akan berhubungan dengan kedudukan benda, kecepatan, percepatan, dan waktu. Dalam membahas tentang gerak benda, seringkali benda dimisalkan sebagai partikel atau benda titik, yaitu benda yang ukurannya diabaikan dan memiliki massa tetap (konstan). Hal ini dimaksudkan untuk memudahkan dalam mempelajari gerak benda tersebut. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang gerak lurus dan gerak melingkar, serta hubungan antara gaya dan percepatan. Dalam bab ini, Anda akan mempelajari materi tentang gerak dengan lebih dalam menggunakan perhitungan vektor, diferensial, dan integral.
1. Vektor Posisi
Di Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa besaran dalam Fisika digolongkan ke dalam dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Bandingkanlah kedua pernyataan berikut. Mobil Ali bergerak dengan kecepatan 60 km/jam ke utara. Mobil Budi bergerak dengan kelajuan 60 km/jam. Manakah dari dua pernyataan tersebut yang merupakan besaran vektor? Kecepatan memiliki besar dan arah sehingga disebut sebagai besaran vektor, sedangkan kelajuan hanya memiliki besar saja sehingga disebut sebagai besaran skalar. Apabila benda dianggap sebagai benda titik, atau partikel, posisi benda tersebut pada suatu bidang dapat dinyatakan dengan vektor posisi r, yaitu sebuah vektor yang ditarik dari titik asal sampai ke posisi titik tersebut berada. Vektor posisi r suatu partikel pada bidang xy dapat dinyatakan sebagai berikut.
r = xi + yj (1–1)
dengan (x, y) adalah koordinat partikel, sementara i dan j adalah vektor satuan yang menyatakan arah pada sumbu-x dan sumbu-y. Vektor satuan memiliki nilai 1 satuan.
 |
| Gambar 1. Vektor satuan i pada arah sumbu-x dan vektor satuan j pada arah sumbu-y. |
 |
| Gambar 2. Posisi titik A dinyatakan dalam vektor posisi dengan rA = xi + yj . |
Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah Gambar 3. berikut.
 |
| Gambar 3. Posisi titik A apabila dinyatakan dalam vektor posisi rA=(5i + 3j) cm. |
Posisi partikel A di bidang xy adalah pada x = 5 cm dan y = 3 cm, atau pada koordinat (5, 3). Vektor posisi partikel A dinyatakan sebagai berikut :
rA = xAi + yAj = (5i + 3j) cm.
2. Perpindahan
Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam waktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurut lintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 4.
 |
| Gambar 4. Garis putus-putus menyatakan lintasan partikel. Perpindahan posisi partikel dari posisi awal di titik P ke posisi titik Q dinyatakan dengan Δr.. |
Apabila posisi titik P dinyatakan sebagai rP dan posisi titik Q dinyatakan sebagai rQ maka perpindahan yang terjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δ r, yaitu :
Δr = rQ – rP (1–2)
Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwa perpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisi awal.
Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan oleh partikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah atau mengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t1, partikel berada di titik P dengan vektor posisinya rP. Pada saat t = t2, partikel berada di titik Q dengan vektor posisinya rQ.
Kemudian, apabila rP= (xPi + yPj) dan rQ = (xQi + yQj), Persamaan (1–2) dapat dituliskan menjadi rPQ = (xQi + yQj) – (xPi + yPj) = (xQ – xP)i + (yQ – yP)j.
Apabila xQ – xP = Δx dan yQ – yP = Δy, serta perpindahan yang dilakukan partikel rPQ dinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadi :
Δr = Δxi + Δyj (1–3)
Oleh karena besar perpindahan partikel Δr sama dengan panjang vektor Δr maka dapat dituliskan :
Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x. Perhatikanlah Gambar 5 berikut.
 |
| Gambar 5. Perpindahan vektor Δ r menurut sumbu-x adalah sebesar Δ x dan menurut sumbu-y sebesar Δ y. |
Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x adalah θ , arah perpindahan vektor Δr dinyatakan sebagai :
Contoh Soal 1 :
Sebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut.
Kunci Jawaban :
Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8). Vektor posisi di titik P (rP) dan vektor posisi di titik Q (rQ) adalah :
rP = 3i + 2j
rQ = 11i + 8j
Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut :
Δr = rQ – rP = (11i + 8j) – (3i + 2j)
Δr = 8i + 6j
Besar vektor Δr adalah :
Arah perpindahan vektor itu adalah :
tanθ = Δy / Δx = 6/8 = 3/4
sehingga θ = 37°
Jadi, vektor perpindahan adalah Δr = 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan, dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut.
3. Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat
Secara matematis, kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi per satuan waktu. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang kecepatan yang terbagi atas kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Sekarang, Anda akan membahas analisis mengenai kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan vektor.
a. Kecepatan Rata-Rata
Perhatikanlah Gambar 6. Posisi benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai r. Kemudian, benda tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δr sehingga pada saat t + Δt, benda berada di titik Q dengan posisi r + Δr.
 |
| Gambar 6. Sebuah benda berpindah secara linear dari titik P ke titik Q. |
Berdasarkan Persamaan (1–3) dapat dituliskan perpindahan posisi benda adalah sebagai berikut.
Δr = (r + Δr) – r
Berdasarkan definisi matematis kecepatan, dapat dituliskan
(1-6)
dengan :
disebut kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-x dan sumbu-y dapat dicari dengan cara memasukkan nilai Δr dari Persamaan (1–3) sebagai berikut.
(1–7)
Perhatikanlah Gambar 7. Gambar tersebut menunjukkan grafik perpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x.
 |
| Gambar 7. Apabila gerak benda hanya pada arah sumbu-x maka kecepatan rata-rata benda v x adalah kemiringan garis yang menghubungkan titik P dengan titik Q, yaitu Δx/Δt |
Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa selama selang waktu Δt, benda berpindah sejauh Δx. Oleh karena itu, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-x, yaitu Δx/Δt dituliskan dengan lambang, 
. Apabila benda tersebut juga berpindah menurut sumbu-y, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-y, yaitu Δy/Δt. dituliskan dengan lambang 
.Dengan demikian, kecepatan rata-rata sebuah benda pada bidang xy dapat dituliskan sebagai berikut :
. Apabila benda tersebut juga berpindah menurut sumbu-y, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-y, yaitu Δy/Δt. dituliskan dengan lambang .Dengan demikian, kecepatan rata-rata sebuah benda pada bidang xy dapat dituliskan sebagai berikut :
(1–8)
Besar kecepatan rata-rata benda dapat dihitung menggunakan persamaan berikut.
(1–9)
b. Kecepatan Sesaat
Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu yang sangat singkat atau Δt mendekati nol. Penulisannya secara matematis adalah sebagai berikut.
(1–10)
Perhatikanlah Gambar 8. berikut.
 |
| Gambar 8. Grafik x terhadap t untuk selang waktu Δt yang semakin kecil. |
Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yang menyatakan kecepatan rata-rata suatu benda akan semakin curam apabila selang waktu perpindahannya semakin kecil. Oleh karena itu, kecepatan sesaat dapat didefinisikan sebagai kemiringan garis tangensial pada titik P, yaitu turunan posisi terhadap waktu.
Pada Gambar 8, kecepatan sesaatnya secara matematis dituliskan sebagai berikut.
(1–11)
Dalam kajian vektor, kecepatan sesaat benda yang bergerak menurut sumbu-x dan sumbu-y dinyatakan sebagai berikut.
(1–12)
Oleh karena dx/dt = vx dan dyx/dt = vy maka Persamaan (1–12) dapat dituliskan menjadi :
v = vxi + vyj (1–13)
Besarnya kecepatan sesaat atau kelajuan rata-rata benda dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut.
(1–14)
Perhatikanlah Gambar 9. Dari grafik kecepatan terhadap waktu benda di titik P yang memiliki kecepatan v, arah kecepatan benda di titik tersebut terhadap sumbu-x dinyatakan dengan θ .
 |
| Gambar 9. Arah percepatan v di titik P terhadap sumbu-x positif. |
Besar θ secara matematis, dapat diperoleh sebagai berikut :
(1–15)
dengan: vx = v cosθ, dan vy = v sinθ.
Catatan Fisika :
dr/dt, dx/dt, dan dy/dt disebut fungsi turunan posisi (r, x, atau y) terhadap waktu t.
Rumus fungsi turunan:
contoh:
Catatan Fisika :
Pada buku ini, besaran vektor ditulis dengan huruf tebal dan miring, contohnya: r,v, a. Adapun, vektor satuan ditulis dengan huruf tebal dan tegak, contohnya: i, j, dan k.
Contoh Soal 2 :
Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah:
a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;
b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;
c. besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon.
Kunci Jawaban :
Diketahui: vektor posisi partikel, yaitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j.
a. t1 = 0 sekon adalah r1 = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter.
t2 = 2 sekon adalah r2 = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter.
Perpindahan partikel dari t1 = 0 sekon hingga t2 = 2 sekon adalah :
Δr = r2 – r1 = (12i + 16j) – (6i + 8j) = (6i + 8j) meter
Besar vektor Δr adalah :
b. Kecepatan rata-rata partikel adalah :
Besar kecepatan rata-rata partikel adalah :
Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut.
vx = dx/dt = d/dt (6 + 3t) = 3 m/s
vy = dy/dt = d/dt (8 + 4t) = 4 m/s
Dengan demikian, diperoleh vektor kecepatan sesaat partikel adalah :
v = vxi + vyj = (3i + 4j) m/s.
Besar kecepatan sesaat partikel adalah :
Arah vektor kecepatan sesaat terhadap sumbu-x adalah θ dengan :
tanθ = vy/vx = 4/3
θ = 53°.
Contoh Soal 3 :
Perhatikan grafik kedudukan (x) terhadap waktu (t) berikut.
Tentukanlah kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu:
a. antara t = 0 sampai t = 3 s;
b. antara t = 3 sampai t = 8 s; dan
c. antara t = 8 sampai t = 12 s.
Kunci Jawaban :
Diketahui: grafik x–t dan kecepatan rata-rata adalah :
a. Kecepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 3 s adalah :
b. Kecepatan rata-rata benda antara t = 3 sampai t = 8 s adalah :
c. Kecepatan rata-rata benda antara t = 8 sampai t = 12 s adalah :
Tokoh Fisika :
Galileo Galilei
(1564–1642)
Galileo lahir di Pisa, Italia. Pada umur 19 tahun, ia mempelajari matematika dan mengembangkan penelitiannya tentang gerak mekanik, terutama mengenai gerak di bidang miring, gerak pendulum, dan gerak jatuh bebas. Saat mengajar di Universitas Padua, ia menjadi penyokong teori Copernicus mengenai sistem Matahari, yang bertentangan dengan teori yang diakui saat itu. Saat menerbitkan karyanya, ia disidang untuk menyangkal hasil penelitiannya, namun ia tetap yakin dengan penelitiannya dan tidak mau menyerah. Setelah ia dijatuhi hukuman tahanan rumah, ia meninggal pada umur 78 tahun. Walaupun begitu, ia menyelesaikan penelitiannya mengenai gerak. Karya tulisnya, kemudian diselundupkan dari Italia dan diterbitkan di Belanda.
